Googleの検索結果にブログ名を記載することはできるのでしょうか。現在は…

検索一覧でのサイト名は、h1 タグ（通常はサイト名）を元に自動生成それます。
現状はおそらく、まだコンテンツが未成熟とみなされているためサイト名ではなくサイト URL が表示されていますが、そのうちサイト名が表示されるようになるはずです。

また多少テクニカルですが、構造化データで WebSite structured data をマークアップすれば、サイト名が表示されます。ただ header.php ファイルをいじる必要があるので、初心者向けではありません。
https://developers.google.com/search/docs/appearance/site-names

このほかに、「All in One SEO パック」プラグインなどでも簡単に設定できるはずです。