WordPress初心者です。Cocoonにて以下2サイトを作成したの…

＞先方からは現在ヘッダーの一番上のテキスト(Cocoon設定→タイトル→サイトの説明のところに入力したメタディスクリプションタグ)をサイトのh1として設定してほしいそうです。

➜おそらく、現在 description として設定されている「阪神タイガース居酒屋 東京都内 関東の阪神タイガースファンが野球観戦できる居酒屋」を h1 として出力することで、「阪神タイガース 居酒屋 東京」などと検索された際の検索結果のリンクに「阪神タイガース居酒屋 東京都内 関東の阪神タイガースファンが野球観戦できる居酒屋」と表示される、とお考えの上での会話なのかと思います。
がしかし、検索結果では title タグが検索結果のリンクとして表示される仕様なので、もし上記の通りなのであれば特に何もいじる必要はありません。

ただ、現状は title タグと description がほぼ同じ内容になっているので、description の内容を「関東の阪神タイガースファンが野球観戦できる居酒屋 8 選」などと変えてみてはいかがでしょうか。

ちなみに昨今 Google 検索では、title / description / h1 などの見出しがサイトの設定どおりに表示されるわけではなく、Google 側で最適化して表示する傾向にあります。これについては構造化マークアップである程度指定はできますが、それも完全ではないということも、知っておいた方がいいでしょう。