サイトヘルスチェックでバックグラウンドの更新が想定通りに動作していませんと表示…

サーバーと WordPress のエラーログを確認してみてはいかがですか？
そもそもは、そこに何らかのエラーが出ているはずです。

今回の投稿内容だけでは、単に index.php の読み込み / 書き込みでエラーが発生しているということしかわかりませんので、解決には誘うことはできません。まずはエラーログを確認して、index.php 関連のエラーを探してみてください。
そしてそのエラーログを ChatGPT などの生成 AI に投げて見るなどして、原因や解決方法を探ってみてください。

WordPress のエラーログ確認方法はググればいくらでも出てきますし、サーバーによるエラーログ確認もご契約されているサーバーの管理画面から可能なはずです。

WordPress のエラーログ確認方法は初期設定が必要だったり、確認後はエラーログの出力を停止したりなどの処理が必要なので、初心者にはハードルは高いかもしれないですね。そうはいっても、ググればいくらでも情報は出てくるので、まずはいろいろと情報を見てみてはいかがでしょうか。
それでもわからない場合は、有料の WordPress メンテナンスに代行してもらうなどでしょうか。

サイトヘルスは、健康診断のようなものです。「改善」は B / C 判定程度ですが、「致命的な問題」は D 判定以降といったところでしょう。例えサイトの表示のレンダリングなど表面的な部分で問題が出ていないとしても、サイト表示スピードなどの見えない部分に問題は発生しているはずです。
今は保留でも構いませんが、ゆくゆくは立ち向かうべき問題であるということには変わりありません。